الكتاب عبارة عن مرجع تدريجي ومكثف في محور القسمة في Z، الموافقات في Z، والأعداد الأولية موجه لتلاميذ الثانوي، يجمع القواعد النظرية مع عدد كبير من الأمثلة والتمارين المحلولة بشكل مفصّل.

محتوى الكتاب الرئيس

• يبدأ بشرح القسمة الإقليدية في Z: كيفية حساب حاصل وباقي القسمة $a = bq + r$ وتمارين على حساب الباقي في حالات مختلفة، بما فيها الأعداد السالبة والتعابير الحاوية على $n$
  

• يعرض تعريف قابلية القسمة والعلاقة بين «يقسم»، «قاسم»، «مضاعف»، مع خواص مهمة مثل: إذا كان $a|b$ و$b|c$ فإن $a|c$، واستعمال هذه الخواص في براهين بسيطة

القواسم، الأعداد الأولية و PGCD–PPCM

• يشرح مفهوم القاسم المشترك الأكبر PGCD بخوارزمية إقليدس وبالتحليل إلى جداء عوامل أولية، مع أمثلة عددية مفصلة، ثم يربط ذلك بحساب مجموعة القواسم المشتركة لعددين.

• يعرّف المضاعف المشترك الأصغر PPCM ويبيّن طريقتين لحسابه (بالتحليل، أو باستعمال العلاقة $PGCD(a,b)\times PPCM(a,b)=ab$).يقدّم تعريف العدد الأولي، كيفية اختبار أولية عدد باستعمال الجذر التربيعي والقسمة المتتالية على الأعداد الأولية الأصغر، مع جداول تطبيقية وأمثلة مثل 143 و269. 

القسمة، العبارات الخطية والمعادلات في Z

• يبيّن كيف نثبت أن عددًا يقسم عددًا آخر بكتابته على شكل $a = kb$، مع تطبيقات على كثيرات حدود في $n$ واستعمال المطابقة لاستخراج المعاملات. 

• يستعمل مبرهنة بيزو لإثبات أن عددين أوليان فيما بينهما، ولإيجاد حلول للمعادلات الخطية من الشكل $ax + by = c$، مع طرق متعددة (الاختزال، المحاولة، إرجاع خوارزمية إقليدس من الأسفل للأعلى). 

• يتناول مبرهنة غوص (إذا كان $a|bc$ و$a$ أولي مع $b$ فإن $a|c$) ويوظفها في حل معادلات وفي تعميم صيغ الحل العام للمعادلات الديوفانتية. 

الموافقات في Z واستعمالها

• يعرّف الموافقات $a \equiv b \pmod n$ ويشرح العبارات المكافئة (نفس الباقي، الفرق مضاعف لـ $n$)، مع جدول لخواص الموافقات (الجمع، الطرح، الضرب، القوى، الاختزال). 

• يدرّب على إيجاد جميع $b$ أو $n$ بحيث تتحقق موافقة معينة، مع استعمال الجداول الصغيرة (مثل الترديد 5 أو 11) لتسهيل الحساب الذهني. 

• يبيّن كيف نستعمل الموافقات لحساب بواقي القسمة لمقادير كبيرة مثل $5^n$ أو $10^{101}$ على عدد صغير، وإثبات القابلية للقسمة $(2^{3n}-2^n$ يقبل القسمة على 7، $(n^4-n)$ يقبل القسمة على 5...). 

أنظمة العد والأساس $x$

• يختم بشرح كتابة عدد في نظام ذي أساس $x$، مع مبرهنة التفكيك $a = qx^n + r_{n-1}x^{n-1} + \dots + r_0$ وكيفية الانتقال بين النظام العشري وأنظمة أخرى (أساس 2، 7، 8، 9) عبر القسمة المتتالية. يتضمن أمثلة مثل تحويل عدد مكتوب في الأساس 8 إلى العشري، ثم من العشري إلى أساس 2، مع خطوات الحساب مكتوبة على شكل جداول للقسمة والبواقي. 

 يمكن إعداد ملخص مختصر جدًا في صفحة واحدة فقط للمتعلمين، أو تحويل هذا المحتوى إلى مخطط دروس/سلسلة حصص للتدريس.

رابط التحميل المباشر