تعد المطابقات المثلثية (Trigonometric Identities) أحد الركائز الأساسية في علم المثلثات والرياضيات بشكل عام. وهي معادلات رياضية تربط بين الدوال المثلثية المختلفة (الجيب، جيب التمام، الظل، وغيرها) وتكون صحيحة لجميع قيم الزوايا التي تحقق شروط وجودها. تُستخدم هذه المطابقات في تبسيط التعابير الرياضية، وحل المعادلات المثلثية، وإيجاد قيم الزوايا المجهولة في المثلثات، كما لها تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة وعلوم الحاسوب. في هذا المقال، سنستعرض أهم المطابقات المثلثية الأساسية والمتقدمة، مقسمة بشكل منظم ليسهل الرجوع إليها وفهمها.
المطابقات المثلثية
علاقة الدوال بالزوايا السالبة وصيغة نصف الزاوية
الدوال المثلثية
sin θ = 1/csc θ cos θ = 1/sec θ tan θ = 1/cot θ
sin (-θ) = -sin θ
tan (-θ) = -tan θ
cot (-θ) = -cot θ
sec (-θ) = sec θ
cos θ · sin θ = 1/2 · 1/√2 = 1/(2√2)
cos θ · cos θ = 1/2 · 1/2 = 1/4
sin² θ + cos² θ = 1
1 + tan² θ = sec² θ
الجمع والطرح
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin(α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
cos(α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
tan(α - β) = (tan α - tan β)/(1 + tan α · tan β)
tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α · tan β)
cot(α + β) = (cot α · cot β - 1)/(cot α + cot β)
cot(α - β) = (cot α · cot β + 1)/(cot β - cot α)
تحويل الضرب إلى مجموع
تستخدم هذه الصيغ لتبسيط عمليات ضرب الدوال المثلثية إلى جمع أو طرح.
cos α · cos β = ½ [cos(α - β) + cos(α + β)]
sin α · sin β = ½ [cos(α - β) - cos(α + β)]
sin α · cos β = ½ [sin(α + β) + sin(α - β)]
صيغ تحويل الضرب إلى مجموع والفرق
هذه الصيغ هي صيغ مكافئة للسابقة ولكن بمعامل 2، وتستخدم في التكامل والتفاضل.
2 cos α · sin β = sin(α + β) - sin(α - β)
2 sin α · cos β = sin(α + β) + sin(α - β)
2 sin α · sin β = cos(α - β) - cos(α + β)
2 cos α · cos β = cos(α + β) + cos(α - β)
صيغ الزوايا المتعددة
هذه الصيغ تُشتق من تكرار استخدام صيغ الزوايا المضاعفة.
sin 4α = 4 sin α · cos α - 8 sin³ α · cos α
cos 4α = 8 cos⁴ α - 8 cos² α + 1
tan 4α = (4 tan α - 4 tan³ α)/(1 - 6 tan² α + tan⁴ α)
sin 3α = 3 sin α - 4 sin³ α
cos 3α = 4 cos³ α - 3 cos α
tan 3α = (3 tan α - tan³ α)/(1 - 3 tan² α)
الزاوية المضاعفة
ملاحظة: في العلاقة الأصلية كان هناك خطأ مطبعي (كتبت cos β بدلاً من cos α).
sin 2α = 2 sin α · cos α
cos 2α = cos² α - sin² α = 1 - 2 sin² α = 2 cos² α - 1
tan 2α = (2 tan α)/(1 - tan² α)
قانون الظل
يستخدم هذا القانون في المثلثات غير قائمة الزاوية، حيث α, β, γ هي الزوايا و a, b, c هي الأضلاع المقابلة لها.
(b - c)/(b + c) = tan((β - γ)/2) / tan((β + γ)/2)
(c - a)/(c + a) = tan((γ - α)/2) / tan((γ + α)/2)
(a - b)/(a + b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2)
قانون الجيب
يستخدم لإيجاد العلاقة بين أضلاع المثلث وزواياه.
a/sin A = b/sin B = c/sin C
قانون جيب التمام
هو تعميم لنظرية فيثاغورث على المثلثات غير القائمة.
a² = b² + c² - 2bc · cos α
b² = a² + c² - 2ac · cos β
c² = a² + b² - 2ab · cos γ