أهلاً بكم متابعي شبكة الشامل التعليمية. استكمالاً لجهودنا في تبسيط مادة الرياضيات، ونزولاً عند رغبة الكثير من الطلاب في الحصول على نسخة نصية من القوانين لتسهيل نسخها وحفظها في ملخصاتهم الخاصة؛ يسعدنا أن نضع بين أيديكم اليوم هذا الملحق الشامل.

سنقوم في هذه الصفحة بصياغة فقرات توضيحية دقيقة لكل صورة من الصور الـ 17 التي قمنا بنشرها سابقاً، متبوعة بتفريغ نصي كامل للمحتوى العلمي والمعادلات الرياضية التي تضمنتها.

الصورة 1: قوانين الأسس (Rules of Exponents)

توضيح: هذه الصورة تلخص القواعد الجبرية الأساسية للتعامل مع القوى والأسس، وهي حجر الزاوية للحسابات الجبرية في جميع المراحل الدراسية. تشرح كيف نتعامل مع الضرب والقسمة والرفع لقوة، والأسس الصفرية والسالبة.

محتوى الصورة كتابة:

• ضرب القوى: a^m × aⁿ = a^m+n
• قسمة القوى: a^m ÷ aⁿ = a^m-n
• قوة القوة: (a^m)ⁿ = a^{m × n}
• الأس الواحد: a¹ = a
• الأس الصفري: a⁰ = 1 (بشرط a ≠ 0)
• توزيع الأس على القسمة: (a / b)^m = a^m / b^m
• الأس السالب: a^-m = 1 / a^m
• الأس الكسري (الجذور): a^x/y = ^y√a^x 

الصورة 2: المتطابقات الشهيرة (Famous Identities)

توضيح: تعرض هذه الصورة الجداءات الشهيرة (المتطابقات الهامة) التي تستخدم لفك ونشر العبارات الجبرية أو تحليلها. تتضمن مربع ومكعب المجموع والفرق، وفرق المربعين والمكعبين.

محتوى الصورة كتابة:

• مربع مجموع: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• مربع فرق: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• فرق مربعين: a² - b² = (a - b)(a + b)
• مكعب مجموع: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• مكعب فرق: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
• مجموع مكعبين: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
• فرق مكعبين: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
  
  
  
  
  

الصورة 3: قوانين الزوايا والدائرة المثلثية (Trigonometry)

توضيح: توضح الصورة العلاقات المثلثية الأساسية في الدائرة المثلثية، بما في ذلك العلاقة "الأم" بين الجيب وجيب التمام، تعريف الظل (الطانجنت)، وخواص التناظر (الزوجية والفردية) وإشارات النسب المثلثية في الأرباع الأربعة.

محتوى الصورة كتابة:

• العلاقة الأساسية: sin²(x) + cos²(x) = 1
• تعريف الظل: tan(x) = sin(x) / cos(x)
• التناظر (الزوجية والفردية):
  • cos(-x) = cos(x)
  • sin(-x) = -sin(x)
• إشارات الأرباع:
  • الربع 1: الكل موجب (sin+, cos+, tan+)
  • الربع 2: الجيب موجب (sin+)، والباقي سالب
  • الربع 3: الظل موجب (tan+)، والباقي سالب
  • الربع 4: جيب التمام موجب (cos+)، والباقي سالب
    
    
    

الصورة 4: قوانين الدوال العددية - البكالوريا (Numerical Functions)

توضيح: تجمع هذه الصورة القوانين الحيوية للتفاضل والتكامل والنهايات التي يحتاجها طالب البكالوريا. تتضمن مشتقات الدوال المألوفة والدوال الأسية واللوغاريتمية والمثلثية، وبعض النهايات والتكاملات الأساسية.

محتوى الصورة كتابة:

• الاشتقاق (Derivatives):
  • f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = nx^n-1
  • f(x) = e^x ⇒ f'(x) = e^x
  • f(x) = ln(x) ⇒ f'(x) = 1/x
  • f(x) = sin(x) ⇒ f'(x) = cos(x)
  • f(x) = cos(x) ⇒ f'(x) = -sin(x)
• النهايات (Limits):
  • lim (1/x) = 0 (عندما x ← ∞)
  • lim (e^x) = ∞ (عندما x ← ∞)
  • lim (ln x) = ∞ (عندما x ← ∞)
• التكامل (Integrals):
  • ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / n+1) + C
  • ∫ e^x dx = e^x + C
  • ∫ (1/x) dx = ln|x| + C
    
    
    

الصورة 5: قوانين هامة أخرى (Other Important Rules)

توضيح: صورة متنوعة تضم قوانين اللوغاريتمات العشرية أو العامة، وقوانين هندسية للدائرة والمثلث القائم، بالإضافة إلى دساتير المجموع للمتتاليات.

محتوى الصورة كتابة:

• اللوغاريتمات:
  • log(xy) = log(x) + log(y)
  • log(x/y) = log(x) - log(y)
  • log(xⁿ) = n × log(x)
• الهندسة:
  • مساحة الدائرة: A = πr²
  • محيط الدائرة: C = 2πr
  • فيثاغورس: a² + b² = c²
• مجاميع المتتاليات:
  • المجموع الحسابي: Sn = (n/2)(a₁ + a_n)
  • المجموع الهندسي: Sn = a₁ × (1 - rⁿ) / (1 - r)

الصورة 6: حالات الخطوط المقاربة (Asymptotes)

توضيح: تشرح بيانياً وحسابياً أنواع المستقيمات المقاربة لمنحنى دالة: المقارب الأفقي (يوازي الفواصل)، المقارب العمودي (يوازي التراتيب)، والمقارب المائل.

محتوى الصورة كتابة:

• المقارب الأفقي (Horizontal):
  • إذا كانت lim f(x) = L (عندما x ← ∞)، فإن المستقيم y = L مقارب أفقي.
• المقارب الرأسي/العمودي (Vertical):
  • إذا كانت lim f(x) = ±∞ (عندما x ← عدد c)، فإن المستقيم x = c مقارب عمودي.
• المقارب المائل (Oblique/Slant):
  • إذا كانت lim [f(x) - (mx + b)] = 0 (عندما x ← ∞)، فإن المستقيم y = mx + b مقارب مائل.

الصورة 7: حالات المماس (Tangent Cases)

توضيح: توضح وضعيات المماس المختلفة: المماس في نقطة عادية، المماس العمودي (حالة عدم الاشتقاق)، والمماس الذي يخترق المنحنى عند نقطة الانعطاف.

محتوى الصورة كتابة:

• معادلة المماس العادي: y = f'(a)(x - a) + f(a)
• المماس العمودي (Vertical Tangent): يحدث عندما تكون نهاية نسبة التزايد (المشتق) تؤول إلى مالانهاية lim f'(x) = ∞. معادلته x = a.
• المماس في نقطة انعطاف: المماس يقطع (يخترق) المنحنى في هذه النقطة لأن المشتق الثاني f''(a) = 0 ويغير إشارته.

الصورة 8: أشكال الدوال الأساسية (Basic Function Shapes)

توضيح: تعرض الرسم البياني القياسي (الشكل العام) لكل دالة من الدوال المقررة، مما يساعد الطالب على تصور سلوك الدالة بمجرد رؤية عبارتها.

محتوى الصورة كتابة:

• الدالة الخطية: f(x) = x (خط مستقيم يمر بالمبدأ).
• الدالة المربعة: f(x) = x² (قطع مكافئ رأسه المبدأ).
• الدالة المكعبة: f(x) = x³ (متماثلة بالنسبة للمبدأ).
• الدالة الأسية: f(x) = e^x (تمر بـ (0,1) وتقارب محور الفواصل).
• الدالة اللوغاريتمية: f(x) = ln(x) (تمر بـ (1,0) وتقارب محور التراتيب).
• دالة المقلوب: f(x) = 1/x (قطع زائد).
• دالة القيمة المطلقة: f(x) = |x| (شكل حرف V).
• الدالة الجذرية: f(x) = √x.

الصورة 9: المتتاليات العددية (Sequences)

توضيح: مقارنة شاملة بين المتتاليات الحسابية والهندسية: التعريف، عبارة الحد العام، الوسط الحسابي والهندسي، وقوانين المجموع، بالإضافة إلى مفهوم التقارب.

محتوى الصورة كتابة:

• المتتالية الحسابية (Arithmetic):
  • العلاقة التراجعية: u_n+1 = u_n + r
  • الحد العام: u_n = u_p + (n - p)r
  • الوسط الحسابي: 2b = a + c
  • المجموع: Sn = (عدد الحدود / 2) × (الحد الأول + الحد الأخير)
• المتتالية الهندسية (Geometric):
  • العلاقة التراجعية: u_n+1 = u_n × q
  • الحد العام: u_n = u_p × q^n-p
  • الوسط الهندسي: b² = a × c
  • المجموع: Sn = u_الأول × (1 - q^{عدد الحدود}) / (1 - q)

الصورة 10: الدالة اللوغاريتمية النيبرية Ln (Logarithmic Functions)

توضيح: تفصيل شامل لخواص الدالة Ln: مجال التعريف، الخواص الجبرية (تحويل الضرب لجمع)، النهايات الشهيرة للتزايد المقارن، الاشتقاق، والتكامل.

محتوى الصورة كتابة:

• التعريف: دالة معرفة على المجال الموجب تماماً (0, +∞).
• الخواص:
  • ln(ab) = ln(a) + ln(b)
  • ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
  • ln(aⁿ) = n × ln(a)
  • ln(e) = 1 ، ln(1) = 0
• النهايات:
  • عند 0⁺ تؤول لـ -∞.
  • عند +∞ تؤول لـ +∞.
  • التزايد المقارن: lim (ln x / x) = 0 (عندما x ← ∞).
• المشتق: (ln u)' = u'/u.

الصورة 11: الدالة الأسية (Exponential Functions)

توضيح: تفصيل شامل لخواص الدالة الأسية e^x: مجال التعريف، الخواص الجبرية (تحويل الجمع لضرب)، النهايات الشهيرة، وقواعد الاشتقاق والمعادلات.

محتوى الصورة كتابة:

• التعريف: دالة معرفة على ℝ وتأخذ قيماً موجبة دوماً.
• الخواص:
  • e^a+b = e^a × e^b
  • e^-a = 1 / e^a
  • (e^a)ⁿ = e^an
  • e⁰ = 1
• النهايات:
  • عند -∞ تؤول لـ 0.
  • عند +∞ تؤول لـ +∞.
  • التزايد المقارن: lim (e^x / x) = +∞ (عندما x ← ∞).
• المشتق: (e^u)' = u' e^u.

الصورة 12: نقطة الانعطاف (Inflection Point)

توضيح: تشرح المفهوم الهندسي لنقطة الانعطاف (تغير التقعر) وكيفية إيجادها حسابياً باستخدام المشتق الثاني أو المشتق الأول، مع مثال وجدول إشارة.

محتوى الصورة كتابة:

• التعريف: نقطة تفصل بين تقعرين مختلفين (مقعر لأعلى ومقعر لأسفل).
• طريقة الإيجاد (المشتق الثاني): نحل المعادلة f''(x) = 0. إذا انعدم المشتق الثاني وغير إشارته عند x₀، فهي نقطة انعطاف.
• التقعر:
  • f''(x) > 0 ⇒ المنحنى مقعر لأعلى (وجهه للأعلى).
  • f''(x) < 0 ⇒ المنحنى مقعر لأسفل.

الصورة 13: الأعداد المركبة (Complex Numbers)

توضيح: تغطي صور العدد المركب (الجبري، المثلثي، الأسي)، العمليات عليه، الطويلة والعمدة، المرافق، دستور موافر، وحل المعادلات في مجموعة الأعداد المركبة ℂ.

محتوى الصورة كتابة:

• الأشكال:
  • الجبري: z = x + iy
  • المثلثي: z = r(cos θ + i sin θ)
  • الأسي: z = r e^iθ
• الخصائص:
  • الطويلة: |z| = √(x² + y²)
  • المرافق: z̄ = x - iy
• دستور موافر: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
• حل المعادلات: إذا كان المميز Δ < 0، الحلان هما z₁,₂ = (-b ± i√-Δ) / 2a.

الصورة 14: الاحتمالات (Probability)

توضيح: تلخص مفاهيم الاحتمالات للصف الثالث الثانوي: قانون الجمع، الاحتمال الشرطي، الحوادث المستقلة، نظرية الاحتمالات الكلية (بايز)، وقانون برنولي (توزيع ثنائي الحد).

محتوى الصورة كتابة:

• قانون الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
• الاستقلال: الحادثان مستقلان إذا كان P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
• قانون برنولي (ثنائي الحد): لتجربة تتكرر n مرة باحتمال نجاح p:
  P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^n-k

الصورة 15: إدماج المتتاليات مع الدوال (Sequences & Functions)

توضيح: تعالج نوع التمارين الشائع في البكالوريا حيث تُعرف المتتالية بدالة u_n+1 = f(u_n). تشمل التمثيل البياني (خط منصف الربع الأول)، البرهان بالتراجع، دراسة الرتابة، والتقارب نحو نقطة ثابتة.

محتوى الصورة كتابة:

• العلاقة: u_n+1 = f(u_n)
• البرهان بالتراجع: 1. نتحقق من صحة الخاصية من أجل n = 0. 2. نفرض صحتها من أجل n. 3. نبرهن صحتها من أجل n+1.
• اتجاه التغير: ندرس إشارة الفرق u_n+1 - u_n أو نستنتجها من موقع المنحنى بالنسبة للمستقيم y = x.
• النهاية: إذا كانت المتتالية متقاربة نحو L والدالة مستمرة، فإن L هو حل المعادلة f(L) = L (نقطة تقاطع المنحنى مع y = x).

الصورة 16: الأعداد والحسابيات في Z (Numbers & Arithmetic)

توضيح: تخص شعبة الرياضيات والتقني رياضي، وتشمل القسمة الإقليدية، الموافقات (Modulos)، القاسم المشترك الأكبر، ومبرهنات الحساب (بيزو، غوص).

محتوى الصورة كتابة:

• القسمة الإقليدية: a = bq + r حيث 0 ≤ r < |b|.
• الموافقات: a ≡ b [n] تعني أن n يقسم الفرق a - b.
• مبرهنة بيزو: للمعادلة ax + by = d حلول صحيحة إذا وفقط إذا كان d مضاعفاً لـ PGCD(a,b).
• مبرهنة غوص: إذا كان a يقسم الجداء bc وكان a أولياً مع b، فإن a يقسم c.

الصورة 17: الأعداد الأولية (Prime Numbers)

توضيح: تكملة لمحور الحسابيات، تركز على الأعداد الأولية، كيفية اختبار الأولية، التحليل لعوامل أولية، ومبرهنات مثل فيرما الصغرى وويلسون وتطبيقاتها في التشفير.

محتوى الصورة كتابة:

• التعريف: p عدد أولي إذا كانت قواسمه الموجبة هي 1 و p فقط.
• المبرهنة الأساسية: كل عدد طبيعي أكبر من 1 يكتب وحيداً كجداء عوامل أولية.
• مبرهنة فيرما الصغرى: إذا كان p أولي و a لا يقبل القسمة عليه، فإن a^p-1 ≡ 1 [p].
• اختبار الأولية: نقسم العدد n على الأعداد الأولية التي مربعاتها أصغر من أو تساوي n.