🎯 مجموعة بطاقات مراجعة شاملة لوحدة الاحتمالات تضم جميع القوانين الأساسية، صيغة بايز، المتغير العشوائي، أمثلة تطبيقية محلولة، ونصائح ذهبية لتفادي الأخطاء الشائعة في الامتحان. مرجعك المثالي للمراجعة السريعة والفعّالة!
📘 بطاقات مراجعة الاحتمالات - الجزء الأول: القوانين الأساسية
القوانين الأساسية
► الاحتمال العكسي:
P(Ā) = 1 - P(A)
► قانون الجمع:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
► إذا متنافيان:
P(A ∩ B) = 0
► قانون الضرب:
P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)
الاحتمال الشرطي
التعريف: احتمال B بعد وقوع A
القانون الأساسي:
القانون الأساسي:
PA(B) = P(A ∩ B) / P(A)
صيغ مشتقة:
P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)
P(A ∩ B) = P(B) × PB(A)
الاستقلال:
PA(B) = P(B)
قانون الاحتمال الكلي
الصيغة الأساسية:
• شجرة الاحتمالات
• جمع مسارات النهاية
مثال:
P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B)
الصيغة الموسعة:
P(B) = P(A)×PA(B) + P(Ā)×PĀ(B)
التطبيق:• شجرة الاحتمالات
• جمع مسارات النهاية
مثال:
P(B) = 0.72 + 0.12 = 0.84
صيغة بايز
التعريف: احتمال السبب بعد ملاحظة النتيجة
القانون:
القانون:
PB(A) = P(A ∩ B) / P(B)
الصيغة الكاملة:
PB(A) = P(A) × PA(B) / P(B)
أو:
PB(A) = P(A∩B) / [P(A∩B) + P(Ā∩B)]
المتغير العشوائي
الأمل الرياضي:
E(X) = Σ xi × P(X=xi)
التباين (طريقة 1):
V(X) = E(X²) - [E(X)]²
التباين (طريقة 2):
V(X) = Σ(xi - E(X))² × Pi
الانحراف المعياري:
σ(X) = √V(X)
خصائص الأحداث
► مستقلتان:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
► متنافيتان:
P(A ∩ B) = 0
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
► متكاملتان:
P(A ∪ B) = 1
📗 بطاقات مراجعة الاحتمالات - الجزء الثاني: التطبيقات والنصائح
شجرة الاحتمالات
► قاعدة المسار:
احتمال المسار = حاصل ضرب الاحتمالات على المسار
► قاعدة الفرع:
مجموع احتمالات الفروع = 1
► احتمال الحدث:
احتمال المسار = حاصل ضرب الاحتمالات على المسار
► قاعدة الفرع:
مجموع احتمالات الفروع = 1
► احتمال الحدث:
P(A) = مجموع مسارات A
► مثال:
P(B) = P(A∩B) + P(Ā∩B)
الجدول الاحتمالي
| B | B̄ | الهامشي | |
| A | P(A∩B) | P(A∩B̄) | P(A) |
| Ā | P(Ā∩B) | P(Ā∩B̄) | P(Ā) |
| الهامشي | P(B) | P(B̄) | 1 |
► مجموع كل عمود = الاحتمال الهامشي
أنواع السحب
► مع الإرجاع:
• الاحتمال ثابت
• P = n/N في كل مرة
• الأحداث مستقلة
► بدون إرجاع:
• الاحتمال يتغير
• P₁ = n/N
• P₂ = (n-1)/(N-1)
• الأحداث تابعة
• الاحتمال ثابت
• P = n/N في كل مرة
• الأحداث مستقلة
► بدون إرجاع:
• الاحتمال يتغير
• P₁ = n/N
• P₂ = (n-1)/(N-1)
• الأحداث تابعة
خطوات حل المسألة
1️⃣ فهم النص:
• حدد الأحداث بالرموز
• استخرج المعطيات
2️⃣ تمثيل الوضعية:
• ارسم شجرة أو جدول
3️⃣ التطبيق:
• اختر القانون المناسب
4️⃣ الحساب:
• انتبه للأخطاء الحسابية
5️⃣ التحقق:
• هل الإجابة منطقية؟
• حدد الأحداث بالرموز
• استخرج المعطيات
2️⃣ تمثيل الوضعية:
• ارسم شجرة أو جدول
3️⃣ التطبيق:
• اختر القانون المناسب
4️⃣ الحساب:
• انتبه للأخطاء الحسابية
5️⃣ التحقق:
• هل الإجابة منطقية؟
نصائح ذهبية
► قبل الامتحان:
• راجع كل أنواع التمارين
• احفظ القوانين الأساسية
• تدرب على رسم الشجرة
► أثناء الامتحان:
• اقرأ النص جيداً
• حدد المعطى والمطلوب
• ارسم الشجرة تساعدك
• تحقق: مجموع الاحتمالات = 1
• راجع كل أنواع التمارين
• احفظ القوانين الأساسية
• تدرب على رسم الشجرة
► أثناء الامتحان:
• اقرأ النص جيداً
• حدد المعطى والمطلوب
• ارسم الشجرة تساعدك
• تحقق: مجموع الاحتمالات = 1
⚠️ أخطاء يجب تجنبها
❌ خلط P(A∩B) مع P(A∪B)
❌ نسيان طرح التقاطع في قانون الجمع
❌ استخدام الاستقلال بدون التأكد
❌ الخلط بين PA(B) و PB(A)
❌ نسيان شرط التحقق:
P(A∩B) = P(A) × P(B) للاستقلال
❌ نسيان طرح التقاطع في قانون الجمع
❌ استخدام الاستقلال بدون التأكد
❌ الخلط بين PA(B) و PB(A)
❌ نسيان شرط التحقق:
P(A∩B) = P(A) × P(B) للاستقلال
📙 بطاقات مراجعة الاحتمالات - الجزء الثالث: أمثلة تطبيقية
مثال: الاستقلال
► المعطيات:
P(A) = 0.6, P(B) = 0.4
P(A∩B) = 0.24
► السؤال:
هل A و B مستقلتان؟
► الحل:
P(A) × P(B) = 0.6 × 0.4
= 0.24 = P(A∩B) ✓
► النتيجة: نعم، مستقلتان ✅
P(A) = 0.6, P(B) = 0.4
P(A∩B) = 0.24
► السؤال:
هل A و B مستقلتان؟
► الحل:
P(A) × P(B) = 0.6 × 0.4
= 0.24 = P(A∩B) ✓
► النتيجة: نعم، مستقلتان ✅
مثال: صيغة بايز
► المعطيات:
80% يملكون حاسوب (A)
90% منهم يستخدمون نت (B)
60% من غير المالكين يستخدمون نت
► المطلوب: PB(A) = ؟
► الحل:
P(A∩B) = 0.8 × 0.9 = 0.72
P(Ā∩B) = 0.2 × 0.6 = 0.12
P(B) = 0.72 + 0.12 = 0.84
80% يملكون حاسوب (A)
90% منهم يستخدمون نت (B)
60% من غير المالكين يستخدمون نت
► المطلوب: PB(A) = ؟
► الحل:
P(A∩B) = 0.8 × 0.9 = 0.72
P(Ā∩B) = 0.2 × 0.6 = 0.12
P(B) = 0.72 + 0.12 = 0.84
PB(A) = 0.72/0.84 = 6/7 ≈ 0.857
مثال: الأمل والتباين
► التوزيع:
► E(X) =
1×0.2 + 2×0.4 + 3×0.1 + 4×0.3
= 0.2 + 0.8 + 0.3 + 1.2 = 2.5
► V(X) =
(1-2.5)²×0.2 + (2-2.5)²×0.4 + ...
= 0.45 + 0.10 + 0.025 + 0.675
= 1.25
| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0.2 | 0.4 | 0.1 | 0.3 |
1×0.2 + 2×0.4 + 3×0.1 + 4×0.3
= 0.2 + 0.8 + 0.3 + 1.2 = 2.5
► V(X) =
(1-2.5)²×0.2 + (2-2.5)²×0.4 + ...
= 0.45 + 0.10 + 0.025 + 0.675
= 1.25
الرموز الرياضية
A ∩ B = تقاطع A و B (و)
A ∪ B = اتحاد A و B (أو)
Ā = عكس A (لا يحدث)
P(A) = احتمال وقوع A
PA(B) = احتمال B شرطاً أن A وقع
E(X) = الأمل الرياضي
V(X) = التباين
σ(X) = الانحراف المعياري
A ∪ B = اتحاد A و B (أو)
Ā = عكس A (لا يحدث)
P(A) = احتمال وقوع A
PA(B) = احتمال B شرطاً أن A وقع
E(X) = الأمل الرياضي
V(X) = التباين
σ(X) = الانحراف المعياري
🧠 اختبر نفسك
1) إذا P(A)=0.3, P(B)=0.4
والمستقلتان، فـ P(A∩B) = ؟
فـ PA(B) = ؟
والمستقلتان، فـ P(A∩B) = ؟
الجواب: 0.12
2) إذا P(A∩B)=0.2, P(A)=0.5فـ PA(B) = ؟
الجواب: 0.4
3) مجموع P(A) + P(Ā) = ؟
الجواب: 1
⭐ الملخص النهائي
القوانين الذهبية:
1. P(Ā) = 1 - P(A)
2. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
3. P(A∩B) = P(A) × PA(B)
4. PA(B) = P(A∩B) / P(A)
5. E(X) = Σ xi × Pi
6. V(X) = E(X²) - [E(X)]²
بالتوفيق والنجاح